Родился 1 июля 1954 года в г. Пермь. Окончил Пермский политехнический институт по специальности «инженер-механик» (1977). Начал заниматься Киокушинкай каратэ в 1976 году. Призёр ряда турниров в 1978–1980 годах. Участник сборов под руководством Александра Танюшкина (Россия), Анджея Древняка (Польша), Константина Божилова (Болгария), Иштвана Адами (Венгрия), Говарда Коллинза (Швеция), Инго Фрайера (Германия), Стива Арнейла (Англия), Кацухито Горая (Япония), Шокея Мацуи (Япония).
Основоположник прикамского киокушина, создатель одной из самых передовых методик подготовки спортсменов, с помощью которой воспитал десятки выдающихся всемирно известных бойцов. Среди них первый российский призер абсолютного чемпионата мира Александр Пичкунов, двукратная чемпионка мира, обладательница кубка мира Ольга Микиртумова, бронзовый призер абсолютного чемпионата мира, абсолютный Чемпион Японии Дармен Садвокасов, обладатель Кубка мира, серебряный призер чемпионата мира Марсель Муракаев, призер чемпионатов мира и Европы Игорь Титков, чемпион Европы Сергей Увицкий, чемпион Европы Дмитрий Старцев и многие другие.
Заслуженный тренер России, заслуженный работник физической культуры, почётный работник общего образования.
В 1999 Государственный комитет по физической культуре, спорту и туризму наградил Александра Алымова почётным знаком «За заслуги в развитии физической культуры и спорта».
В 2005 в Государственном центральном концертном зале «Россия» впервые в истории боевых искусств нашей страны состоялась торжественная церемония вручения национальной премии «Золотой Пояс», лауреатом которой стал Александр Николаевич. В последующие годы ряд его учеников также станут обладателями этой почетнейшей награды.
Дважды в 2005 и в 2007 году он становился обладателем престижной Всероссийской Премии «SuperKarate Awards» в номинации «Тренер года».
В 2014 году Ассоциация киокусинкай России присудила Александру Алымову премию «Лучший тренер десятилетия» в рамках празднования десятилетнего юбилея АКР.
В 2015 году в рамках заключительного турнирного дня 11 абсолютного чемпионата мира по киокушинкай, Канчо Шокей Мацуи провел награждение мастеров и легенд киокушина высокими данами. Среди награждаемых, в торжественной церемонии участвовал и единственный от России шихан Александр Алымов, которому вручили 6 Дан. Символично, что именно его ученик Дармен Садвокасов днём ранее поднялся на 3 ступень пьедестала абсолютного чемпионата мира, а вся команда Пермского края практически всем составом вошла в топ 32 сильнейших бойцов мира.
В том же году Указом Президента Российской Федерации В.В. Путина За заслуги в развитии физической культуры и спорта и многолетнюю добросовестную работу Алымов был награжден Медалью Ордена «За заслуги перед отечеством» II степени.
С 2020 года Александр Николаевич возглавляет Федерацию Киокушин России.
